Kazanimlar:
- Mortalite (ölümlülük) tablosu, hayatta kalma olasılığı, anüite (düzenli ödeme akışı) ve bugünkü değer kavramlarını yapay zeka desteğiyle hesaplayıp yorumlayabilme
- Teknik faiz (iskonto oranı), yükümlülük değerlemesi ve mortalite iyileşmesi/uzun ömür riskini senaryo bazında yapay zeka ile inceleyebilme
- Yapay zekanın ürettiği hayat/emeklilik hesaplarının tablo, faiz ve varsayım seçimine bağlı olduğunu ve bu varsayımların aktüer sorumluluğunda olduğunu ayırt edebilme
Hayat sigortası ve bireysel emeklilik, aktüeryanın en eski ve en matematiksel alanıdır. Bir hayat sigortası poliçesi belki 40 yıl sürer; bir emeklilik yükümlülüğü, bugün 30 yaşındaki bir kişiye 65'ten sonra ödenecek maaşları kapsar. Bu kadar uzun vadeli borçları bugünden doğru değerlemek için iki temel bilgi gerekir: insanların ne olasılıkla hayatta kalacağı (mortalite) ve paranın zaman içindeki değeri (faiz/iskonto). Bu ünitede bu iki eksen etrafında mortalite tablosu, hayatta kalma olasılığı, anüite ve yükümlülük değerlemesini işleyecek; YZ'yi bu hesaplarda nasıl güvenle kullanacağınızı göreceğiz.
Baştan hatırlatalım: hayat ve emeklilik hesapları tamamen varsayımlara dayanır — hangi mortalite tablosu, hangi faiz, hangi iyileşme senaryosu. YZ hesabı yapar ve kodu yazar, ama bu varsayımların seçimi ve sorumluluğu aktüerdedir. Yanlış bir tablo veya faiz seçimi, on yıllara yayılan sistematik bir hataya dönüşür.
Mortalite tablosu ve hayatta kalma
Her hayat/emeklilik hesabının temeli mortalite tablosudur (ölümlülük tablosu). Bu tablo her yaş için temel bir olasılık verir: qx, yani x yaşına ulaşmış bir kişinin bir yıl içinde ölme olasılığı. Örneğin q65 = 0,012 ise, 65 yaşındaki bir kişinin bir yıl içinde ölme olasılığı yaklaşık yüzde 1,2'dir. Buradan px = 1 − qx ile bir yıl hayatta kalma olasılığı bulunur. Birden çok yılı zincirleyerek tPx (x yaşındaki birinin t yıl daha yaşama olasılığı) hesaplanır: tPx = px × px+1 × ... × px+t−1.
Türkiye'de bireysel emeklilikte yaygın olarak kullanılan tablolar vardır (örneğin CSO türevleri ve ulusal deneyim tabloları); şirketler kendi portföy deneyimlerine göre bunları düzeltir. Kritik nokta: bir hayat sigortası (ölüm halinde ödeme) için ihtiyatlı varsayım daha yüksek mortalite, bir anüite (yaşadıkça ödeme) için ise daha düşük mortalite (uzun ömür) yönündedir. Aynı tablo, ürünün yönüne göre farklı riski temsil eder.
İpucu: Bir mortalite tablosunun adını YZ'ye söyletmeyin — model tablo adı ve qx değeri uydurabilir. Tabloyu resmi kaynaktan alın, YZ'yi yalnızca o değerlerle hesap yapmak için kullanın.
Bugünkü değer, faiz ve anüite
İkinci eksen paranın zaman değeridir. Bugün elimizdeki 100 TL, bir yıl sonraki 100 TL'den değerlidir; çünkü yatırılıp getiri sağlayabilir. Gelecekteki bir ödemeyi bugüne indirgemeye iskonto (discounting) denir ve kullanılan orana teknik faiz (iskonto oranı) denir. t yıl sonraki 1 TL'nin bugünkü değeri vᵗ = 1 / (1+i)ᵗ ile bulunur; burada i teknik faizdir. Kritik ilişki: faiz yükseldikçe gelecekteki ödemenin bugünkü değeri düşer, çünkü iskonto daha güçlü uygulanır.
Anüite (annuity), düzenli aralıklarla yapılan bir ödeme akışıdır (örneğin her yıl ödenen emekli maaşı). Bir hayat anüitesinin bugünkü değeri iki bilgiyi birleştirir: her ödemenin yapılabilmesi için kişinin o zamana kadar hayatta olması (mortalite) ve o ödemenin bugüne iskonto edilmesi (faiz). Basitleştirilmiş biçimde, x yaşındaki birine ömür boyu yıllık 1 TL ödeyen anüitenin bugünkü değeri:
äx = Σ (tPx × vᵗ) — yani her gelecek yıl için "o yıla kadar yaşama olasılığı × iskonto faktörü" toplamı.
Bu tek formül, hem hayat sigortası primini hem emeklilik yükümlülüğünü hesaplamanın çekirdeğidir. YZ bu toplamı hızlıca kodlar; ama tPx ve vᵗ'yi besleyen tablo ve faiz varsayımları sizindir.
Şu tablo temel kavramları özetler:
Kavram
Sembol
Anlamı
Ölüm olasılığı
qx
x yaşında bir yılda ölme olasılığı
Hayatta kalma
px = 1−qx
x yaşında bir yıl yaşama olasılığı
t yıl hayatta kalma
tPx
x yaşındakinin t yıl daha yaşaması
İskonto faktörü
vᵗ = 1/(1+i)ᵗ
t yıl sonraki 1 TL'nin bugünkü değeri
Hayat anüitesi
äx
Ömür boyu yıllık 1 TL ödemenin bugünkü değeri
Yükümlülük, mortalite iyileşmesi ve uzun ömür riski
Bir emeklilik veya hayat şirketinin yükümlülüğü, gelecekte ödeyeceği tüm anüite ve tazminatların bugünkü değeridir. Bu değer üç varsayıma çok duyarlıdır: mortalite tablosu, teknik faiz ve gider/iptal varsayımları. En sinsi risk uzun ömür riskidir (longevity risk): insanlar beklenenden uzun yaşarsa, anüite ödemeleri de uzar ve yükümlülük şişer. Bu yüzden aktüerler statik bir tablo yerine mortalite iyileşmesi (mortality improvement) uygular: her yıl ölüm olasılıklarının biraz azalacağını varsayan bir projeksiyon. YZ, farklı iyileşme senaryolarının yükümlülüğe etkisini hızlıca hesaplayıp karşılaştırabilir.
Dikkat: Küçük bir faiz veya mortalite değişikliği, uzun vadeli yükümlülükte büyük bir etki yapar. Teknik faizi yüzde 0,5 düşürmek, 30 yıllık bir anüite yükümlülüğünü çift haneli oranda artırabilir. Bu yüzden varsayımlar tek tek gerekçelendirilir ve duyarlılık analizi yapılır.
YZ'yi hayat/emeklilik hesabında nasıl kullanırsınız
1) Hayatta kalma ve anüite hesap kodu:
Python ile yorumlu bir kod yaz:Girdi: yaş 60'tan 100'e qx değerleri (ben sağlayacağım, liste), teknik faiz i=0,04.1) Her yaş için tPx (60'tan itibaren kümülatif hayatta kalma) hesapla.2) Her yıl için iskonto faktörü v^t hesapla.3) 60 yaşındaki birine ömür boyu yıllık 1 TL ödeyen anüitenin bugünkü değerini (äx = toplam tPx * v^t) hesapla.Ara değerleri yazdır. qx'leri UYDURMA; ben vereceğim.
2) Faiz duyarlılığı:
Anüite bugünkü değerimi i=0,04 için hesapladım: 14,8.Aynı tPx ile i=0,03, 0,05, 0,06 için bugünkü değeri tekrar hesapla.Sonuçları bir tablo yap ve faiz arttıkça değerin neden düştüğünütek cümleyle açıkla.
3) Uzun ömür senaryosu:
Rolün: hayat aktüerine yardımcı asistan.Statik mortalite ile 65 yaşlı anüite yükümlülüğüm 12,4 birim.Her yıl qx'lerin %1 azaldığı bir 'mortalite iyileşmesi' senaryosununasıl uygularım? Kavramı açıkla, hesap adımlarını sırala.Yükümlülüğün artması mı azalması mı beklenir, neden?
4) Sonucu yönetime çevirme:
Teknik faizi %4'ten %3,5'e düşürünce emeklilik yükümlülüğüm %11 arttı.Bunu bir yönetim kuruluna 4 cümleyle açıkla:- Neden faiz düşünce yükümlülük artar?- Bu bir gerçek nakit çıkışı mı yoksa değerleme etkisi mi?- Yönetimin dikkat etmesi gereken 2 riski yaz.
Zayıf prompt / Güçlü prompt
Zayıf prompt:
65 yaşındaki biri için emeklilik maaşının bugünkü değerini hesapla.
Ne mortalite tablosu, ne faiz, ne ödeme tutarı verilmiş. YZ tablo ve qx uydurur; sonuç anlamsızdır.
Güçlü prompt:
Rolün: emeklilik aktüerine yardımcı hesap asistanı.Girdi (ben sağlıyorum):- 65-90 yaş qx değerleri: [liste buraya]- Teknik faiz i = 0,04- Yıllık ödeme: 1 birim, yıl başında, ömür boyuGörev:1) tPx ve v^t'yi hesapla.2) Hayat anüitesinin bugünkü değerini äx = Σ tPx*v^t ile bul.3) Ara adımları göster ki elle doğrulayabileyim.qx ve faizi UYDURMA; sadece verdiklerimi kullan. Eksikse sor.
Üç mini vaka
Vaka 1 — Faiz varsayımının gücü. Bir emeklilik şirketi yükümlülüğünü yüzde 5 teknik faizle 480 milyon TL hesaplamıştı. Piyasa faizleri düşünce regülatör yüzde 3,5 kullanılmasını istedi. YZ ile aynı mortalite tabanında yeniden hesaplandı: yükümlülük 560 milyona çıktı, yüzde 17 artış. Şirketin ek sermaye ayırması gerekti. Ders: faiz, uzun vadeli yükümlülükte tek başına devasa etki yapar.
Vaka 2 — Uzun ömür sürprizi. Bir portföy, 20 yıl önceki statik bir mortalite tablosuyla anüite fiyatlamıştı. Sigortalılar beklenenden ortalama 3,5 yıl fazla yaşadı; ödemeler uzadı ve portföy zarar etti. Sonraki fiyatlamada mortalite iyileşmesi eklendi. YZ, tarihsel gerçekleşen ölümlerle tablo arasındaki farkı (A/E oranı — gerçekleşen/beklenen) hesaplayıp iyileşme ihtiyacını gösterdi; kararı aktüer verdi.
Vaka 3 — Uydurulmuş tablo tuzağı. Bir yardımcı, YZ'ye "TRH-2010 tablosunun q70 değeri nedir" diye sordu; YZ kendinden emin "0,0185" dedi. Yardımcı bunu hesaba koydu. Gerçek tabloda değer farklıydı ve tablo adı da tam doğru değildi. Doğrulama yapılınca fark ortaya çıktı ve tüm hesap düzeltildi. Ders: qx ve tablo adları asla YZ belleğinden alınmaz; resmi kaynaktan girilir.
Sık yapılan hatalar
- Mortalite tablosunu veya qx'leri YZ'ye uydurtmak. Bunlar resmi kaynaktan gelir; YZ yalnızca sizin verdiğiniz değerlerle hesap yapmalıdır.
- Faiz varsayımının etkisini hafife almak. Küçük faiz değişimi uzun vadeli yükümlülükte büyük fark yaratır; duyarlılık analizi şart.
- Statik mortalite kullanıp uzun ömür riskini görmezden gelmek. İyileşme eklenmezse anüite yükümlülüğü sistematik olarak eksik hesaplanır.
- Ürün yönünü karıştırmak. Hayat sigortasında ihtiyat yüksek mortalite, anüitede düşük mortalite yönündedir; aynı tablo farklı risk demektir.
- Değerleme etkisini nakit çıkışıyla karıştırmak. Faiz kaynaklı yükümlülük artışı hemen ödenen bir nakit değil, bugünkü değerin yeniden ölçümüdür.
Özetle
Hayat ve emeklilik hesapları iki eksene dayanır: mortalite (qx, px, tPx ile hayatta kalma) ve faiz (vᵗ ile iskonto). Bunlar birleşerek anüitenin ve yükümlülüğün bugünkü değerini (äx = Σ tPx·vᵗ) verir. Faiz yükseldikçe bugünkü değer düşer; uzun ömür riski yükümlülüğü şişirir ve mortalite iyileşmesiyle yönetilir. YZ bu toplamları hızlı kodlar ve senaryoları karşılaştırır; ama mortalite tablosu, faiz ve iyileşme varsayımlarının seçimi ve sorumluluğu aktüerdedir. Varsayımı YZ'ye uydurtmak değil, resmi kaynaktan besleyip YZ'ye hesap yaptırmak esastır.
Uygulama görevi
Kısa bir qx listesi (örneğin 65-80 yaş, resmi bir tablodan veya ders örneğinden) ve bir teknik faiz belirleyin. YZ'den (a) tPx ve vᵗ'yi, (b) hayat anüitesinin bugünkü değerini hesaplamasını isteyin. İlk 3 yılın tPx ve vᵗ değerlerini elle doğrulayın. Ardından faizi 1 puan artırıp/azaltarak bugünkü değerin nasıl değiştiğini gözlemleyin ve yüzde etkisini not edin.
Kontrol listesi
- [ ] Mortalite tablosu ve qx'leri resmi kaynaktan mı aldım, YZ'ye uydurtmadım mı?
- [ ] Teknik faiz varsayımımı gerekçelendirdim mi ve duyarlılık analizi yaptım mı?
- [ ] Uzun ömür riski için mortalite iyileşmesi gerekip gerekmediğini değerlendirdim mi?
- [ ] tPx ve vᵗ değerlerinin ilk birkaçını elle doğruladım mı?
- [ ] Ürün yönüne (hayat vs anüite) uygun ihtiyat yönünü seçtim mi?
- [ ] Yükümlülük değişimini nakit çıkışıyla karıştırmadan doğru sundum mu?