Fitimet:
- Aftësia për të përdorur inteligjencën artificiale për të gjetur idenë dhe metodën e provës (direkte, kontradiktore, induktive, kundërthënëse) dhe vetë-kontrolloni vlefshmërinë e çdo hapi logjik
- Aftësia për të identifikuar boshllëqet e provave, supozimet e nënkuptuara dhe kërcimet e pajustifikuara pas shprehjeve të tilla si 'qartë', 'pa paragjykuar përgjithësinë'
- Aftësia për të dalluar rrjedhshmërinë dhe vlefshmërinë duke kërkuar kundërshembuj përpara se të mbështeteni në prova pa qenë i sigurt për vërtetësinë e një pretendimi.
Prova matematikore është nxjerrja e saktë e një pretendimi në hapa logjikë nga aksiomat e pranuara dhe teoremat e provuara më parë. Prova është produkti më rigoroz i matematikës: një tranzicion i vetëm logjik i pavlefshëm, një lëshim ose supozim i nënkuptuar që ne e quajmë "boshllëk", hedh poshtë të gjithë provën. Inteligjenca artificiale është shumë e aftë në prodhimin e tekstit me pamje bindëse për prova – dhe pikërisht për këtë është e rrezikshme. Një tekst që duket bindës nuk është një provë e vlefshme. Në këtë njësi do të mësoni se si të përdorni AI si një partner për hartimin e provave dhe si të inspektoni çdo hap logjik.
Dy përkufizimet e para. Një skicë provuese është një përmbledhje që jep idenë kryesore dhe skeletin e një prove, por nuk plotëson çdo detaj. Një boshllëk provash është një kërcim në të cilin prova thotë "këtu vijon", por në fakt nuk e justifikon atë. Rreziku më i madh kur punoni me AI janë boshllëqet e mbuluara nga fjalitë bindëse: teksti është i rrjedhshëm, plot me lidhëza si "prandaj" dhe "qartësisht", por me kërcime në mes që nuk vërtetohen në të vërtetë.
Përparësitë dhe dobësitë e AI në provë
AI bën dy gjëra mirë në provë: (1) evokon idenë standarde të vërtetimit të një teoreme të njohur, (2) sugjeron se cila metodë (induksion, kontradiktë, e drejtpërdrejtë, kontrapozitive) mund të jetë e përshtatshme për një provë. Dobësia e tij është kjo: sigurimi që çdo hap i një prove origjinale ose delikate të jetë realisht i vlefshëm. Inteligjenca artificiale mund të prodhojë "prova të gabuara" që duken të vërteta, por në të vërtetë janë të rreme - për shembull, mund të kapërcejë rastin bazë në një hap induksioni, ose mund të thotë "pa shkelur përgjithësinë" por të bëjë një supozim që në fakt thyen përgjithësinë.
Pra, rregulli i artë në provë: përdorni AI për të gjetur dhe përvijuar idenë e provës; Kontrolloni vetë vlefshmërinë e çdo hapi logjik. Përpara se të "pranoni" një provë, sigurohuni që secila "prandaj" është në të vërtetë e vlefshme.
Hap pas hapi: kontrollimi i një prove
1. Sqaroni pretendimin dhe supozimet. Çfarë po provohet? Sipas çfarë supozimesh? Nëse këto janë të paqarta, prova është gjithashtu e paqartë.
2. Njihni metodën e provës. Direkt, me kontradiktë, në mënyrë induktive, kontrapozitive? Njihni kërkesat strukturore të metodës (p.sh., në induksion, rasti bazë + hapi i induksionit është thelbësor).
3. Pyetni çdo “prandaj”. Në çdo tranzicion logjik, "a vjen vërtet kjo nga hapat e mëparshëm?" pyesni. Boshllëqet më tinzare fshihen pas shprehjeve “dukshëm”, “shihet lehtë”, “pa humbur përgjithësinë”.
4. Kërkoni supozime të nënkuptuara. A mbështetet prova në një supozim të pashprehur? Për shembull, mund të pranohet në heshtje që një numër është pozitiv ose një funksion është i vazhdueshëm.
5. Provoni një kundërshembull. Nëse pretendimi është i rremë, një kundërshembull e rrëzon atë. Përpara se të pranoni provën, provoni nëse pretendimi është në të vërtetë i vërtetë në raste të thjeshta të veçanta.
6. Konsultohuni me një autoritet prokurimi. Krahasoni provën standarde për teoremat e njohura me një burim të besueshëm (libër shkollor, burim i rishikuar nga kolegët).
Këshillë: Shprehja "pa humbur përgjithësinë" në provë është një thikë me dy tehe. Ndonjëherë është në të vërtetë e vlefshme (nëse ka simetri), ndonjëherë është një gabim i fshehur. AI e përdor shumë këtë shprehje. Justifikojeni veten çdo herë se "përgjithësia nuk është e prishur në të vërtetë"; Mos e pranoni fjalën e AI për të.
Metodat e provës dhe kurthet
metodë e provës
Struktura
Kurthi më i zakonshëm i AI
e drejtpërdrejtë
Supozimi → ... → Përfundim
duke kapërcyer një hap në mes
kontradiktë
Supozoni të kundërtën → gjeni kontradiktën
Kontradikta nuk është reale
induksioni
Rasti bazë + hap
Duke harruar situatën bazë
kontrapozitive
¬Përfundim → ¬Supozim
mohim i rremë
Kundërshembull (përgënjeshtrim)
kundërshembull i vetëm
Kundërshembulli është i pavlefshëm
tre mini kuti
Rasti 1 - Rasti bazë jo i plotë. Një mësues kishte AI të provonte formulën "1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2" me induksion. AI e shkroi saktë hapin e induksionit, por kurrë nuk e kontrolloi rastin bazë (n=1). Mësuesi pyet "ku është rasti bazë?" ai pyeti; shtoi AI. Pa gjendjen bazë, induksioni është i pavlefshëm; Një kontroll prej 30 sekondash e ruajti provën.
Rasti 2 - Ndarja sekrete me zero. Një student pa një "provë" qesharake si "a = b për çdo a, b" dhe e pyeti AI "ku është gabimi këtu?" pyeti ai. YZ tregoi saktë se prova pjesëtohet me (a - b) në një hap, dhe nën supozimin a = b, kjo është pjesëtim me zero. Këtu UA ishte e suksesshme si auditor; por studenti gjithsesi e verifikoi këtë hap me dorën e tij.
Rasti 3 — Prova të rreme bindëse. Një student inxhinierie kishte një AI të dëshmuar një pabarazi. Teksti ishte i rrjedhshëm dhe bindës, por kur merrte rrënjë katrore në një hap, ai shpërfillte mundësinë e rrënjëve pozitive dhe negative dhe merrte vetëm pozitiven. Studenti e gjeti këtë boshllëk kur vuri në dyshim çdo hap. Prova u bë e vlefshme kur u shtua një kusht shtesë (pozitiviteti i variablave).
Katër shabllone të kopjueshëm
1) Kërkimi i një drafti provë (ide):
Cila METOdë do të ishte e përshtatshme për të vërtetuar pretendimin e mëposhtëm (drejtpërdrejt, kontradiktë, induktiv, kontrapozitiv)? Thjesht jepni IDEnë KRYESORE dhe skeletin e provës, mos e shkruani provën e plotë. Pretendimi: [këtu]
2) Hap pas hapi, prova e arsyetuar:
Vërtetoni pretendimin e mëposhtëm me [metodën]: [pretendim]. Shkruani në cilën aksiomë/teoremë/përkufizim mbështeteni për çdo hap. MOS përdorni shprehje të tilla si "qartësisht" ose "lehtë"; Arsyetoni plotësisht çdo tranzicion. Nëse induksioni, tregoni veçmas rastin bazë dhe hapin e induksionit.
3) Gjuetia e provave të zbrazëtirave:
Shikoni provën më poshtë. THJESHT kërkoni për boshllëqe logjike, supozime të nënkuptuara dhe kërcime të pajustifikuara. Kontrolloni nëse secila "prandaj" rrjedh në të vërtetë nga hapat e mëparshëm. Shkruani çdo boshllëk që gjeni me cilin hap është. Vërtetim: [këtu]
4) Kërkoni për kundërshembull:
Unë dua të testoj nëse pretendimi i mëposhtëm është i VËRTETË: [pretendim]. Së pari provojeni atë në raste të thjeshta të veçanta; përpiquni të gjeni një KUNDËRSHEMBULL. Nëse gjeni një kundërshembull, tregojeni atë; Nëse nuk e gjeni, listoni situatat që keni provuar (por kjo nuk është provë, thjesht kërkoni prova).
Prompt i dobët / Prompt i fortë
I dobët: "Vërtetoni se √2 është irracionale."
Rezultati: Vjen prova standarde, por një hap (p.sh. "atëherë p është çift") mund të jetë anashkaluar pa arsye dhe nuk do ta vini re.
I fortë: "Vërtetoni ME KONTRADIKTË se √2 është irracionale. Shkruani cilin supozim keni përdorur në çdo hap; justifikoni gjithashtu pretendimet e ndërmjetme si 'Nëse p² është çift, atëherë p është çift'. Së fundi, tregoni qartë se ku lind saktësisht kontradikta."
Rezultati: Çdo pretendim i ndërmjetëm është i justifikuar, burimi i kontradiktës është i qartë, nuk ka boshllëqe.
Gabimet e zakonshme
- Ngatërrimi i rrjedhshmërisë me vlefshmërinë. Një tekst bindës nuk është një provë e vlefshme; Çdo hap duhet të mbikëqyret.
- Kapërcimi i gjendjes bazë në induksion. AI shpesh harron rastin bazë; Vetëm hapi i induksionit nuk mjafton.
- Të pranosh "pa humbur përgjithësinë" pa diskutim. Kjo deklaratë mund të jetë një gabim i fshehtë; Arsyetojeni çdo herë.
- Duke mos parë supozime të nënkuptuara. Supozime të tilla si pozitiviteti, vazhdimësia, jozero, etj. mund të rrjedhin në heshtje në provë.
- Besimi i provës pa provuar një kundërshembull. Nëse pretendimi është i rremë, edhe prova është e rreme; Së pari provoni të vërtetën e pretendimit në raste të thjeshta.
Kujdes: AI mund të prodhojë "provë" edhe për një pretendim që është në të vërtetë i rremë - sepse prodhon tekst, nuk garanton vlefshmëri logjike. Nëse nuk jeni të sigurt për saktësinë e një pretendimi, kërkoni fillimisht një kundërshembull. "Prova" e një pretendimi të rremë përmban domosdoshmërisht një boshllëk; Detyra juaj është të gjeni atë boshllëk.
Në përmbledhje
Prova është produkti më rigoroz i matematikës dhe AI mund të prodhojë "prova" bindëse, por të pavlefshme. Përdorni AI për të gjetur idenë dhe metodën e provës; Kontrolloni vetë vlefshmërinë e çdo hapi logjik. Kërkoni rastet kryesore, supozimet e nënkuptuara dhe zbrazëtirat pas frazave si "qartë" dhe "pa paragjykim". Nëse nuk jeni të sigurt për vërtetësinë e një pretendimi, provoni një kundërshembull përpara se t'i besoni provës. Rrjedhshmëria nuk është vlefshmëri.
Detyra e aplikimit
Zgjidhni një teoremë standarde (p.sh. "shuma e dy numrave çift është çift" ose "√2 është irracionale"). Lëreni që AI ta vërtetojë hap pas hapi me shabllonin e dytë. Pastaj jepni përsëri të njëjtën provë si shablloni i 3-të për gjuetinë e boshllëqeve - lëreni të kontrollojë provën e tij. Pastaj pyesni manualisht çdo "prandaj": a ka një rast bazë, a ka një supozim të nënkuptuar, a është i justifikuar çdo tranzicion? Gjeni dhe vini re të paktën një boshllëk të mundshëm ose një pikë përmirësimi.
listë kontrolli
- [ ] Unë sqarova pretendimin dhe supozimet.
- [ ] U njoha me metodën e provës dhe kërkesat strukturore të saj.
- [ ] Kam verifikuar që çdo "prandaj" rrjedh nga hapat e mëparshëm.
- [ ] Unë bëra një kontroll të rastit bazë / supozimit të nënkuptuar.
- [ ] E testova pretendimin në raste të thjeshta dhe kërkova kundërshembuj.
- [ ] Kam krahasuar provën standarde për teoremat e njohura me burimin e besueshëm.