Добивки:
- Способност да се користи вештачка интелигенција за да се најде идејата и методот на докажување (директно, контрадикторно, индуктивно, контрапозитивно) и самостојно да се провери валидноста на секој логичен чекор
- Способност да се идентификуваат доказните празнини, имплицитни претпоставки и неоправдани скокови зад изразите како што се „јасно“, „без предрасуди за општоста“
- Способност да се направи разлика помеѓу флуентност и валидност со барање контрапримери пред да се потпрете на доказ без да бидете сигурни во вистинитоста на тврдењето.
Математичкиот доказ е прецизно изведување на тврдењето во логички чекори од прифатените аксиоми и претходно докажаните теореми. Доказот е најригорозниот производ на математиката: единствена неважечка логичка транзиција, пропуст или имплицитна претпоставка што ја нарекуваме „празнина“, го побива целиот доказ. Вештачката интелигенција е многу вешти во производството на текст со убедлив изглед за доказ - и токму затоа е опасно. Текстот што изгледа убедливо не е валиден доказ. Во оваа единица ќе научите како да ја користите вештачката интелигенција како партнер за изработка на докази и како да го прегледате секој логичен чекор.
Првите две дефиниции. Доказната скица е резиме што ја дава главната идеја и скелетот на доказот, но не го пополнува секој детал. Доказната празнина е скок во кој доказот вели „овде следи“, но всушност не го оправдува. Најголемиот ризик при работа со вештачка интелигенција се празнините покриени со убедливи реченици: текстот е флуиден, полн со сврзници како „затоа“ и „очигледно“, но со скокови помеѓу кои всушност не се докажани.
Јаки и слаби страни на вештачката интелигенција во доказ
Вештачката интелигенција добро докажува две работи: (1) предизвикува стандардна идеја за докажување на позната теорема, (2) сугерира кој метод (индукција, контрадикција, директен, контрапозитивен) може да биде соодветен за доказ. Неговата слабост е ова: да се осигура дека секој чекор од оригинален или суптилен доказ е всушност валиден. Вештачката интелигенција може да произведе „лажни докази“ кои изгледаат вистинити, но всушност се лажни - на пример, може да го прескокне основниот случај во чекор на индукција или може да каже „без да ја наруши општоста“, но да направи претпоставка што всушност ја нарушува општоста.
Значи, златното правило во доказот: користете вештачка интелигенција за да ја пронајдете и опишете идејата за доказот; Проверете ја валидноста на секој логичен чекор сами. Пред да „прифатите“ доказ, проверете дали секое „затоа“ е навистина валидно.
Чекор по чекор: проверка на доказ
1. Појаснете го тврдењето и претпоставките. Што се докажува? Под кои претпоставки? Ако овие се нејасни, и доказот е нејасен.
2. Знајте го методот на докажување. Директно, со контрадикција, индуктивно, контрапозитивно? Знајте ги структурните барања на методот (на пр., во индукција, основниот случај + индукцискиот чекор е од суштинско значење).
3. Прашајте го секое „затоа“. При секоја логичка транзиција, "дали ова навистина следи од претходните чекори?" прашај. Најподмолните празнини се кријат зад изразите „очигледно“, „лесно се гледа“, „без губење на општоста“.
4. Барајте имплицитни претпоставки. Дали доказот се потпира на неискажана претпоставка? На пример, може тивко да се прифати дека бројот е позитивен или функцијата е континуирана.
5. Обидете се со контрапример. Ако тврдењето е лажно, контрапример го урива. Пред да го прифатите доказот, тестирајте дали тврдењето е навистина точно во едноставни посебни случаи.
6. Консултирајте се со органот за набавка. Споредете го стандардниот доказ за познати теореми со сигурен извор (учебник, рецензиран извор).
Совет: Фразата „без губење на општоста“ во доказот е меч со две острици. Понекогаш е всушност валидно (ако има симетрија), понекогаш е скриена грешка. Вештачката интелигенција многу го користи овој израз. Секој пат оправдувајте се дека „генералноста навистина не е скршена“; Не го прифаќајте зборот на вештачката интелигенција за тоа.
Докажувачки методи и стапици
метод на докажување
Структура
Најчеста замка за вештачка интелигенција
директно
Претпоставка → ... → Заклучок
прескокнување чекор помеѓу
контрадикторност
Претпоставете го спротивното → најдете контрадикторност
Контрадикцијата не е реална
индукција
Основен случај + чекор
Заборавајќи ја основната ситуација
контрапозитивен
¬Заклучок → ¬Претпоставка
лажна негација
Контрапример (побивање)
единствен контрапример
Контрапримерот е неважечки
три мини футроли
Случај 1 - Нецелосно основен случај. Наставникот имал ВИ да ја докаже формулата „1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2“ со индукција. Вештачката интелигенција правилно го напиша индукцискиот чекор, но никогаш не го провери основниот случај (n=1). Наставникот прашува „каде е основната кутија? праша тој; додадена вештачка интелигенција. Без основната состојба, индукцијата е неважечка; Проверката од 30 секунди го спаси доказот.
Случај 2 - Тајно делење со нула. Еден студент виде смешен „доказ“ како „а = б за секое а, б“ и ја праша вештачката интелигенција „каде е грешката овде?“ праша тој. YZ правилно покажа дека доказот се дели со (a − b) во еден чекор, а под претпоставката a = b, ова е делење со нула. Овде вештачката интелигенција беше успешна како ревизор; но ученикот сепак го потврди овој чекор со своја рака.
Случај 3 - Уверливи лажни докази. На еден студент по инженерство, вештачката интелигенција докажала нееднаквост. Текстот беше течен и убедлив, но при преземањето квадратни корени во еден чекор, ја игнорираше можноста и за позитивни и за негативни корени и го зема само позитивниот. Студентот ја откри оваа празнина кога го преиспитуваше секој чекор. Доказот стана валиден кога беше додаден дополнителен услов (позитивност на променливите).
Четири шаблони за копирање
1) Барање нацрт-доказ (идеја):
Кој МЕТОД би бил соодветен за докажување на следново тврдење (директно, контрадикторно, индуктивно, контрапозитивно)? Само дајте ја ГЛАВНАТА ИДЕЈА и скелетот на доказот, не пишувајте го целосниот доказ. Тврдат: [тука]
2) Чекор по чекор, аргументиран доказ:
Докажете го следното тврдење со [метод]: [тврдење]. Запишете на која аксиома/теорема/дефиниција се потпирате за секој чекор. НЕ користете изрази како „јасно“ или „лесно“; Целосно оправдајте ја секоја транзиција. Ако е индукција, прикажете го основното куќиште и чекорот на индукција одделно.
3) Доказ за лов:
Проверете го доказот подолу. САМО барајте логички празнини, имплицитни претпоставки и неоправдани скокови. Проверете дали секое „затоа“ навистина следи од претходните чекори. Запишете ја секоја празнина што ја наоѓате со кој чекор е. Доказ: [тука]
4) Пребарајте контрапример:
Сакам да тестирам дали следново тврдење е ТОЧНО: [тврдење]. Прво тестирајте го во едноставни специјални случаи; обидете се да најдете ПРОТИВ ПРИМЕР. Ако најдете контрапример, покажете го; Ако не можете да го најдете, наведете ги ситуациите што сте ги пробале (но ова не е доказ, само барате докази).
Слаб промпт / Силен промпт
Слаб: „Докажете дека √2 е ирационален“.
Резултат: Доаѓа стандардниот доказ, но чекорот (на пр. „тогаш p е парен“) можеби е прескокнат без оправдување и нема да забележите.
Силно: „Докажете СО КОНТРАДИКЦИЈА дека √2 е ирационален. Запишете која претпоставка сте ја користеле на секој чекор; исто така оправдајте ги средните тврдења како „Ако p² е парен, тогаш p е парен“. Конечно, јасно покажете каде точно се појавува противречноста“.
Резултат: Секое меѓу тврдење е оправдано, изворот на противречноста е јасен, нема празнини.
Вообичаени грешки
- Збунувачки флуентност со валидност. Убедлив текст не е валиден доказ; Секој чекор мора да биде надгледуван.
- Прескокнување на основната состојба при индукција. ВИ често го заборава основното куќиште; Само индуктивниот чекор не е доволен.
- Да се прифати „без губење на општоста“ без прашање. Оваа изјава може да биде латентна грешка; Оправдајте го секој пат.
- Не гледајќи имплицитни претпоставки. Претпоставките како што се позитивност, континуитет, ненула, итн., може тивко да протечат во доказот.
- Да се има доверба во доказот без да се проба контрапример. Ако тврдењето е лажно, и доказот е лажен; Прво тестирајте ја вистинитоста на тврдењето во едноставни случаи.
Внимание: вештачката интелигенција може да произведе „доказ“ дури и за тврдење што е всушност лажно - бидејќи произведува текст, не гарантира логичка валидност. Ако не сте сигурни во точноста на тврдењето, прво побарајте контрапример. „Доказот“ за лажното тврдење нужно содржи дупка; Ваша задача е да ја пронајдете таа празнина.
Сумирано
Доказот е најригорозниот производ на математиката, а вештачката интелигенција може да произведе убедливи, но невалидни „докази“. Користете вештачка интелигенција за да ја пронајдете идејата и методот за доказ; Проверете ја валидноста на секој логичен чекор сами. Побарајте клучни случаи, имплицитни претпоставки и дупки зад фразите како „јасно“ и „без предрасуди“. Ако не сте сигурни во вистинитоста на тврдењето, обидете се со контрапример пред да му верувате на доказот. Флуентноста не е валидност.
Задача за апликација
Изберете стандардна теорема (на пр. „збирот на два парни броеви е парен“ или „√2 е ирационален“). Нека вештачката интелигенција го докажува тоа чекор по чекор со вториот шаблон. Потоа повторно дајте го истиот доказ како третиот шаблон за ловот на празнините - нека го провери својот сопствен доказ. Потоа рачно прашајте го секое „затоа“: дали постои основен случај, дали има имплицитна претпоставка, дали секоја транзиција е оправдана? Најдете и забележете барем една потенцијална празнина или точка за подобрување.
листа за проверка
- [ ] Ги разјаснив тврдењата и претпоставките.
- [ ] Го запознав методот на докажување и неговите структурни барања.
- [ ] Потврдив дека секое „затоа“ следи од претходните чекори.
- [ ] Направив проверка на основен случај / имплицитна претпоставка.
- [ ] Го тестирав тврдењето во едноставни случаи и барав контрапримери.
- [ ] Го споредив стандардниот доказ за познатите теореми со доверливиот извор.