Ieguvumi:
- Spēja izmantot mākslīgo intelektu, lai atrastu pierādīšanas ideju un metodi (tiešs, pretrunīgs, induktīvs, kontrapozitīvs) un pašam pārbaudītu katra loģiskā soļa derīgumu.
- Spēja noteikt pierādījumu nepilnības, netiešus pieņēmumus un nepamatotus izteicienus aiz tādiem izteicieniem kā "skaidri", "neskarot vispārīgumu"
- Spēja atšķirt raitumu un derīgumu, meklējot pretpiemērus, pirms paļauties uz pierādījumiem, nepārliecinoties par apgalvojuma patiesumu.
Matemātiskais pierādījums ir precīza apgalvojuma atvasināšana loģiskos soļos no pieņemtām aksiomām un iepriekš pārbaudītām teorēmām. Pierādījums ir visstingrākais matemātikas produkts: viena nederīga loģiskā pāreja, izlaidums vai netiešs pieņēmums, ko mēs saucam par "starpību", atspēko visu pierādījumu. Mākslīgais intelekts ir ļoti prasmīgs, lai radītu pārliecinošu tekstu pierādījumam — un tieši tāpēc tas ir bīstami. Teksts, kas šķiet pārliecinošs, nav derīgs pierādījums. Šajā nodaļā jūs uzzināsit, kā izmantot AI kā pierādījumu izstrādes partneri un kā pārbaudīt katru loģisko soli.
Pirmās divas definīcijas. Pierādījuma skice ir kopsavilkums, kas sniedz pierādījumu galveno ideju un skeletu, bet neaizpilda visas detaļas. Pierādījumu plaisa ir lēciens, kurā pierādījums saka "šeit tas izriet", bet faktiski to neattaisno. Lielākais risks, strādājot ar mākslīgo intelektu, ir pārliecinošu teikumu aizklātās nepilnības: teksts ir plūstošs, pilns ar tādiem savienojumiem kā “tāpēc” un “acīmredzot”, bet ar lēcieniem starp tiem, kas faktiski nav pierādīti.
AI stiprās un vājās puses pierādījumos
AI pierādīšanā labi veic divas lietas: (1) izsauc standarta ideju par zināmas teorēmas pierādījumu, (2) iesaka, kāda metode (indukcija, pretruna, tieša, pretrunīga) varētu būt piemērota pierādījumam. Tās vājums ir šāds: nodrošināt, ka katrs oriģināla vai smalka pierādījuma solis ir patiešām derīgs. AI var radīt "maldus pierādījumus", kas šķiet patiesi, bet patiesībā ir nepatiesi — piemēram, tas var izlaist pamata gadījumu indukcijas solī vai var teikt "nepārkāpjot vispārīgumu", bet izdarīt pieņēmumu, kas faktiski pārkāpj vispārīgumu.
Tātad pierādījuma zelta likums: izmantojiet AI, lai atrastu un izklāstītu pierādījumu ideju; Pats pārbaudiet katra loģiskā soļa derīgumu. Pirms "pieņemt" pierādījumu, pārliecinieties, vai katrs "tāpēc" ir patiešām derīgs.
Soli pa solim: pārbaudiet pierādījumu
1. Precizējiet prasību un pieņēmumus. Kas tiek pierādīts? Pie kādiem pieņēmumiem? Ja tie ir neskaidri, arī pierādījumi ir neskaidri.
2. Zināt pierādīšanas metodi. Tieši, ar pretrunu, induktīvi, pretrunīgi? Zināt metodes strukturālās prasības (piem., indukcijā, pamatgadījums + indukcijas solis ir būtisks).
3. Apšaubiet katru “tāpēc”. Pie katras loģiskās pārejas, "vai tas tiešām izriet no iepriekšējām darbībām?" jautāt. Vismānīgākie robi slēpjas aiz izteicieniem "acīmredzami", "tas ir viegli redzams", "nezaudējot vispārīgumu".
4. Meklējiet netiešus pieņēmumus. Vai pierādījums balstās uz neizteiktu pieņēmumu? Piemēram, var klusībā pieņemt, ka skaitlis ir pozitīvs vai funkcija ir nepārtraukta.
5. Izmēģiniet pretpiemēru. Ja apgalvojums ir nepatiess, pretpiemērs to nojauc. Pirms pierādījumu pieņemšanas pārbaudiet, vai apgalvojums patiešām ir patiess vienkāršos īpašos gadījumos.
6. Konsultējieties ar iepirkuma iestādi. Salīdziniet zināmo teorēmu standarta pierādījumus ar uzticamu avotu (mācību grāmatu, recenzētu avotu).
Padoms: frāze "nezaudējot vispārīgumu" pierādījumā ir abpusēji griezīgs zobens. Dažreiz tas ir patiesi derīgs (ja ir simetrija), dažreiz tā ir slēpta kļūda. AI bieži izmanto šo izteicienu. Katru reizi attaisnojieties, ka "vispārība īsti nav salauzta"; Neuztveriet AI vārdus.
Pierādīšanas metodes un kļūmes
pierādīšanas metode
Struktūra
Visizplatītākais AI slazds
tiešā veidā
Pieņēmums → ... → Secinājums
izlaižot soli pa vidu
pretruna
Pieņemsim pretējo → atrodiet pretrunu
Pretruna nav reāla
indukcija
Bāzes gadījums + solis
Aizmirstot pamata situāciju
kontrapozitīvs
¬Secinājums → ¬Pieņēmums
viltus noliegums
Pretpiemērs (atspēkojums)
viens pretpiemērs
Pretpiemērs nav derīgs
trīs mini futrāļi
1. gadījums — nepilnīgs pamatgadījums. Skolotājs lika AI pierādīt formulu "1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2" ar indukciju. AI pareizi uzrakstīja indukcijas soli, bet nekad nepārbaudīja bāzes gadījumu (n = 1). Skolotājs jautā "kur ir pamatgadījums?" viņš jautāja; AI pievienots. Ja nav pamata stāvokļa, indukcija nav derīga; 30 sekunžu pārbaude saglabāja pierādījumu.
2. gadījums — slepena dalīšana ar nulli. Viens students redzēja smieklīgu "pierādījumu", piemēram, "a = b katram a, b" un jautāja AI "kur šeit ir kļūda?" viņš jautāja. YZ pareizi parādīja, ka pierādījums dalās ar (a − b) vienā solī, un saskaņā ar pieņēmumu a = b tas ir dalījums ar nulli. Šeit AI bija veiksmīgs kā auditors; bet skolēns šo soli tomēr pārbaudīja ar savu roku.
3. gadījums — pārliecinoši nepatiesi pierādījumi. Inženierzinātņu studentam AI pierādīja nevienlīdzību. Teksts bija raits un pārliecinošs, taču, pieņemot kvadrātsaknes vienā solī, tas ignorēja gan pozitīvo, gan negatīvo sakņu iespējamību un paņēma tikai pozitīvo. Students atrada šo plaisu, kad viņš apšaubīja katru soli. Pierādījums kļuva spēkā, kad tika pievienots papildu nosacījums (mainīgo pozitivitāte).
Četras kopējamas veidnes
1) Pierādījuma melnraksta (idejas) pieprasīšana:
Kura METODE būtu piemērota, lai pierādītu šādu apgalvojumu (tiešs, pretrunīgs, induktīvs, pretrunīgs)? Vienkārši dodiet GALVENO IDEJU un pierādījuma skeletu, nerakstiet pilnu pierādījumu. Pretenzija: [šeit]
2) Soli pa solim argumentēts pierādījums:
Pierādiet šādu apgalvojumu ar [metodi]: [pretenzija]. Pierakstiet, uz kuru aksiomu/teorēmu/definīciju paļaujaties katrā solī. NELIETOJIET tādus izteicienus kā "skaidri" vai "viegli"; Pilnībā pamatojiet katru pāreju. Ja indukcija, atsevišķi parādiet pamatgadījumu un indukcijas soli.
3) Pierādījums nepilnību meklēšanai:
Apskatiet zemāk esošo pierādījumu. TIKAI meklējiet loģiskas nepilnības, netiešus pieņēmumus un nepamatotus izlēcienus. Pārbaudiet, vai katrs "tāpēc" faktiski izriet no iepriekšējām darbībām. Pierakstiet katru atrasto atstarpi, kurā tas atrodas. Pierādījums: [šeit]
4) Meklējiet pretpiemēru:
Es vēlos pārbaudīt, vai šāds apgalvojums ir PATIESA: [pretenzija]. Vispirms pārbaudiet to vienkāršos īpašos gadījumos; mēģiniet atrast PRETPIEMĒRU. Ja atrodat pretpiemēru, parādiet to; Ja nevarat to atrast, uzskaitiet situācijas, kuras izmēģinājāt (bet tas nav pierādījums, tikai meklējat pierādījumus).
Vāja uzvedne / spēcīga uzvedne
Vāji: "Pierādiet, ka √2 ir neracionāls."
Rezultāts: nāk standarta pierādījums, taču solis (piemēram, "tad p ir pāra"), iespējams, ir izlaists bez attaisnojuma, un jūs to nepamanīsit.
Strong: "Pierādiet AR PRETRUPU, ka √2 ir neracionāls. Pierakstiet, kuru pieņēmumu izmantojāt katrā solī; arī pamatojiet starpposma apgalvojumus, piemēram, "Ja p² ir pāra, tad p ir pāra". Visbeidzot skaidri parādiet, kur tieši rodas pretruna."
Rezultāts: Katra starpprasība ir pamatota, pretrunas avots ir skaidrs, nav atstāti tukšumi.
Biežas kļūdas
- Jaucot plūdumu ar derīgumu. Pārliecinošs teksts nav derīgs pierādījums; Katrs solis ir jāuzrauga.
- Pamatstāvokļa izlaišana indukcijā. AI bieži aizmirst bāzes gadījumu; Ar indukcijas soli vien nepietiek.
- Bez šaubām pieņemt "nezaudējot vispārīgumu". Šis apgalvojums var būt latenta kļūda; Katru reizi pamatojiet to.
- Neredzot netiešus pieņēmumus. Pierādījumā var klusi ieplūst tādi pieņēmumi kā pozitivitāte, nepārtrauktība, nulles atšķirība utt.
- Uzticoties pierādījumam, nemēģinot pretpiemēru. Ja apgalvojums ir nepatiess, arī pierādījums ir nepatiess; Vispirms pārbaudiet apgalvojuma patiesumu vienkāršos gadījumos.
Uzmanību: AI var radīt “pierādījumu” pat apgalvojumam, kas patiesībā ir nepatiess — jo tas rada tekstu, tas negarantē loģisku derīgumu. Ja neesat pārliecināts par pretenzijas precizitāti, vispirms meklējiet pretpiemēru. Nepatiesa apgalvojuma "pierādījums" noteikti satur nepilnību; Tavs uzdevums ir atrast šo plaisu.
Rezumējot
Pierādījumi ir visstingrākais matemātikas produkts, un AI var radīt pārliecinošus, bet nederīgus "pierādījumus". Izmantojiet AI, lai atrastu pierādījumu ideju un metodi; Pats pārbaudiet katra loģiskā soļa derīgumu. Meklējiet galvenos gadījumus, netiešus pieņēmumus un nepilnības aiz tādām frāzēm kā “skaidri” un “bez aizspriedumiem”. Ja neesat pārliecināts par apgalvojuma patiesumu, pirms uzticaties pierādījumam, izmēģiniet pretpiemēru. Raidums nav derīgums.
Lietojumprogrammas uzdevums
Izvēlieties standarta teorēmu (piemēram, "divu pāra skaitļu summa ir pāra" vai "√2 ir iracionāla"). Lieciet AI soli pa solim to pierādīt, izmantojot otro veidni. Pēc tam vēlreiz sniedziet to pašu pierādījumu kā 3. veidnei, lai meklētu atstarpes — ļaujiet viņam pārbaudīt savu pierādījumu. Pēc tam manuāli vaicājiet katru "tāpēc": vai ir pamatgadījums, vai ir netiešs pieņēmums, vai katra pāreja ir pamatota? Atrodiet un atzīmējiet vismaz vienu iespējamo trūkumu vai uzlabošanas punktu.
kontrolsaraksts
- [ ] Precizēju prasību un pieņēmumus.
- [ ] Iepazinu pierādīšanas metodi un tās strukturālās prasības.
- [ ] Es pārliecinājos, ka katrs "tāpēc" izriet no iepriekšējām darbībām.
- [ ] Es veicu bāzes gadījuma / netiešā pieņēmuma pārbaudi.
- [ ] Es pārbaudīju apgalvojumu vienkāršos gadījumos un meklēju pretpiemērus.
- [ ] Es salīdzināju zināmo teorēmu standarta pierādījumu ar uzticamo avotu.