Pelnas:
- Gebėjimas naudoti dirbtinį intelektą ieškant įrodymo idėjos ir metodo (tiesioginis, prieštaringas, indukcinis, prieštaringas) ir savarankiškai patikrinti kiekvieno loginio žingsnio pagrįstumą.
- Gebėjimas nustatyti įrodymų spragas, netiesiogines prielaidas ir nepagrįstus šuolius už tokių posakių kaip „aiškiai“, „nepažeidžiant bendrumo“
- Gebėjimas atskirti sklandumą ir pagrįstumą, ieškant priešingų pavyzdžių prieš pasikliaujant įrodymais, nebūdami tikri dėl teiginio teisingumo.
Matematinis įrodymas – tai tikslus teiginio išvedimas loginiais žingsniais iš priimtų aksiomų ir anksčiau įrodytų teoremų. Įrodymas yra griežčiausias matematikos produktas: vienas neteisingas loginis perėjimas, praleidimas arba numanoma prielaida, kurią vadiname „spraga“, paneigia visą įrodymą. Dirbtinis intelektas yra labai įgudęs sukurti įtikinamai atrodantį tekstą įrodymui – ir būtent todėl jis pavojingas. Tekstas, kuris atrodo įtikinamas, nėra tinkamas įrodymas. Šiame skyriuje sužinosite, kaip dirbtinį intelektą naudoti kaip įrodymo rengimo partnerį ir kaip patikrinti kiekvieną loginį žingsnį.
Pirmieji du apibrėžimai. Įrodinėjimo eskizas yra santrauka, kuri pateikia pagrindinę įrodymo idėją ir pagrindą, tačiau neužpildo kiekvienos detalės. Įrodinėjimo spraga yra šuolis, kai įrodymas sako „čia tai išeina“, bet iš tikrųjų jo nepateisina. Didžiausia rizika dirbant su AI yra įtikinamų sakinių spragos: tekstas yra sklandus, pilnas jungtukų, pvz., „todėl“ ir „akivaizdu“, tačiau su šuoliais tarp jų, kurie iš tikrųjų nėra įrodyti.
DI stipriosios ir silpnosios pusės įrodymuose
Įrodinėdamas dirbtinis intelektas gerai atlieka du dalykus: (1) sužadina standartinę žinomos teoremos įrodymo idėją, (2) siūlo, koks metodas (indukcija, prieštaravimas, tiesioginis, prieštaringas) galėtų būti tinkamas įrodymui. Jo silpnybė yra tokia: užtikrinti, kad kiekvienas originalaus ar subtilaus įrodymo žingsnis būtų iš tikrųjų galiojantis. AI gali pateikti „klaidingus įrodymus“, kurie atrodo teisingi, bet iš tikrųjų yra klaidingi – pavyzdžiui, indukcijos žingsnyje jis gali praleisti pagrindinį atvejį arba pasakyti „nepažeisdamas bendrumo“, bet padaryti prielaidą, kuri iš tikrųjų pažeidžia bendrumą.
Taigi auksinė įrodinėjimo taisyklė: naudokite AI, kad surastumėte ir apibūdintumėte įrodymo idėją; Patikrinkite kiekvieno loginio žingsnio pagrįstumą patys. Prieš „priimdami“ įrodymą, įsitikinkite, kad kiekvienas „todėl“ iš tikrųjų galioja.
Žingsnis po žingsnio: patikrinkite įrodymą
1. Patikslinkite teiginį ir prielaidas. Kas įrodoma? Kokiomis prielaidomis? Jei jie neaiškūs, įrodymas taip pat yra neaiškus.
2. Išmanyti įrodinėjimo būdą. Tiesiogiai, prieštaraujant, indukciškai, priešingai? Žinokite metodo struktūrinius reikalavimus (pvz., indukcijoje būtinas bazinis atvejis + indukcijos žingsnis).
3. Klauskite kiekvieną „todėl“. Kiekvieno loginio perėjimo metu „ar tai tikrai išplaukia iš ankstesnių veiksmų? paklausti. Po posakiais „akivaizdžiai“, „lengvai matosi“, „neprarandant bendrumo“ slepiasi klastingiausios spragos.
4. Ieškokite numanomų prielaidų. Ar įrodymas remiasi neišsakyta prielaida? Pavyzdžiui, galima tyliai pripažinti, kad skaičius yra teigiamas arba funkcija yra tęstinė.
5. Išbandykite priešingą pavyzdį. Jei teiginys yra klaidingas, priešinis pavyzdys jį sugriauna. Prieš priimdami įrodymą, patikrinkite, ar teiginys iš tikrųjų yra teisingas paprastais ypatingais atvejais.
6. Pasikonsultuokite su viešųjų pirkimų institucija. Palyginkite standartinį žinomų teoremų įrodymą su patikimu šaltiniu (vadovėliu, recenzuojamu šaltiniu).
Užuomina: frazė „neprarandant bendrumo“ įrodyme yra dviašmenis kardas. Kartais tai iš tikrųjų galioja (jei yra simetrija), kartais tai yra paslėpta klaida. AI dažnai naudoja šią išraišką. Kiekvieną kartą pateisinkite save, kad „bendrumas tikrai nesulaužytas“; Nepriimkite AI žodžio.
Įrodinėjimo metodai ir spąstai
įrodinėjimo metodas
Struktūra
Labiausiai paplitęs AI spąstai
tiesioginis
Prielaida → ... → Išvada
praleidžiant žingsnį tarp jų
prieštaravimas
Tarkime priešingai → rasti prieštaravimą
Prieštaravimas nėra tikras
indukcija
Bazinis atvejis + žingsnis
Pamiršus pagrindinę situaciją
prieštaringi
¬Išvada → ¬Prielaida
klaidingas neigimas
Priešingas pavyzdys (paneigiamas)
vienas priešingas pavyzdys
Priešinis pavyzdys neteisingas
trys mini dėklai
1 atvejis – neužbaigtas bazinis atvejis. Mokytojas turėjo AI įrodyti formulę „1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2“ indukcija. AI teisingai parašė indukcijos žingsnį, bet niekada nepatikrino pagrindinio atvejo (n = 1). Mokytojas klausia "kur yra bazinis atvejis?" jis paklausė; AI pridėjo. Be pagrindinės būsenos indukcija negalioja; 30 sekundžių patikrinimas išsaugojo įrodymą.
2 atvejis – slaptas padalijimas iš nulio. Vienas studentas pamatė juokingą „įrodymą“ kaip „a = b kiekvienam a, b“ ir paklausė AI „kur čia klaida? – paklausė jis. YZ teisingai parodė, kad įrodymas dalijasi iš (a − b) vienu žingsniu, o pagal prielaidą a = b, tai yra dalijimas iš nulio. Čia AI buvo sėkmingas kaip auditorius; bet mokinys vis tiek patikrino šį žingsnį savo ranka.
3 atvejis – įtikinami melagingi įrodymai. Inžinerijos studentas turėjo AI įrodyti nelygybę. Tekstas buvo sklandus ir įtikinamas, tačiau imant kvadratines šaknis vienu žingsniu ignoravo tiek teigiamų, tiek neigiamų šaknų galimybę ir pasiėmė tik teigiamą. Mokinys šią spragą rado, kai suabejojo kiekviename žingsnyje. Įrodymas tapo galiojančiu, kai buvo pridėta papildoma sąlyga (kintamųjų pozityvumas).
Keturi kopijuojami šablonai
1) Prašymas pateikti įrodymo juodraštį (idėja):
Koks METODAS būtų tinkamas įrodyti šį teiginį (tiesioginis, prieštaringas, indukcinis, prieštaringas)? Tiesiog pateikite PAGRINDINĘ IDĘ ir įrodymo griaučius, nerašykite viso įrodymo. Pretenzija: [čia]
2) Žingsnis po žingsnio, argumentuotas įrodymas:
Įrodykite šį teiginį [metodu]: [pretenzija]. Užrašykite, kuria aksioma / teorema / apibrėžimu remiatės kiekvienam žingsniui. NENAUDOKITE tokių posakių kaip „aiškiai“ arba „lengvai“; Visiškai pateisinkite kiekvieną perėjimą. Jei indukcija, nurodykite bazinį atvejį ir indukcijos žingsnį atskirai.
3) Spragų medžioklė:
Peržiūrėkite toliau pateiktą įrodymą. TIK ieškokite loginių spragų, numanomų prielaidų ir nepagrįstų šuolių. Patikrinkite, ar kiekvienas „todėl“ iš tikrųjų išplaukia iš ankstesnių veiksmų. Užrašykite kiekvieną rastą spragą, kurioje žingsnyje jis yra. Įrodymas: [čia]
4) Ieškokite priešingo pavyzdžio:
Noriu patikrinti, ar šis teiginys yra TRUE: [pretenzija]. Pirmiausia patikrinkite paprastais ypatingais atvejais; pabandyk rasti ATVEŽIMĄ PAVYZDĮ. Jei rasite priešingą pavyzdį, parodykite jį; Jei nerandate, išvardykite situacijas, kurias bandėte (tačiau tai nėra įrodymas, tiesiog ieškote įrodymų).
Silpnas raginimas / Stiprus raginimas
Silpnas: „Įrodykite, kad √2 yra neracionalus“.
Rezultatas: pateikiamas standartinis įrodymas, bet žingsnis (pvz., „tada p yra lyginis“) gali būti praleistas be pagrindimo ir jūs nepastebėsite.
Stiprus: "Prieštaravimu įrodykite, kad √2 yra neracionalus. Užrašykite, kurią prielaidą naudojote kiekviename žingsnyje; taip pat pagrįskite tarpinius teiginius, pvz., "Jei p² yra lyginis, tada p yra lyginis". Galiausiai aiškiai parodykite, kur tiksliai atsiranda prieštaravimas."
Rezultatas: Kiekvienas tarpinis reikalavimas yra pagrįstas, prieštaravimo šaltinis aiškus, nepaliekama jokių spragų.
Dažnos klaidos
- Painiojantis sklandumą su galiojimu. Įtikinamas tekstas nėra tinkamas įrodymas; Kiekvienas žingsnis turi būti prižiūrimas.
- Pradinės būsenos praleidimas indukcijoje. AI dažnai pamiršta bazinį atvejį; Vien įvedimo žingsnio neužtenka.
- Neabejotinai priimti „neprarandant bendrumo“. Šis teiginys gali būti paslėpta klaida; Kiekvieną kartą pagrįskite.
- Nematyti numanomų prielaidų. Tokios prielaidos kaip pozityvumas, tęstinumas, nulis ir kt. gali tyliai prasiskverbti į įrodymą.
- Pasitikėjimas įrodymu nebandant priešingo pavyzdžio. Jei teiginys yra klaidingas, įrodymas taip pat yra klaidingas; Pirmiausia patikrinkite teiginio teisingumą paprastais atvejais.
Atsargiai: AI gali pateikti „įrodymą“ net teiginiui, kuris iš tikrųjų yra klaidingas – kadangi jis sukuria tekstą, jis negarantuoja loginio pagrįstumo. Jei nesate tikri dėl teiginio tikslumo, pirmiausia ieškokite priešingo pavyzdžio. Klaidingo teiginio „įrodymas“ būtinai turi spragą; Jūsų darbas yra rasti tą spragą.
Apibendrinant
Įrodymas yra griežčiausias matematikos produktas, o AI gali pateikti įtikinamų, bet negaliojančių „įrodymų“. Naudokite AI, kad surastumėte įrodymo idėją ir metodą; Patikrinkite kiekvieno loginio žingsnio pagrįstumą patys. Ieškokite pagrindinių atvejų, numanomų prielaidų ir spragų už frazės, pvz., „aiškiai“ ir „be išankstinio nusistatymo“. Jei nesate tikri dėl teiginio teisingumo, prieš pasitikėdami įrodymu išbandykite priešingą pavyzdį. Sklandumas nėra pagrįstumas.
Taikymo užduotis
Pasirinkite standartinę teoremą (pvz., „dviejų lyginių skaičių suma yra lyginė“ arba „√2 yra neracionali“). Leiskite AI tai įrodyti žingsnis po žingsnio naudodami 2-ąjį šabloną. Tada dar kartą pateikite tą patį įrodymą, kaip ir trečiojo šablono spragų medžioklei – leiskite jam patikrinti savo įrodymą. Tada rankiniu būdu užklauskite kiekvieną „todėl“: ar yra bazinis atvejis, ar yra numanoma prielaida, ar kiekvienas perėjimas pagrįstas? Raskite ir atkreipkite dėmesį į bent vieną galimą spragą ar tobulinimo tašką.
kontrolinis sąrašas
- [ ] Patikslinau pretenziją ir prielaidas.
- [ ] Susipažinau su įrodinėjimo metodu ir jo struktūriniais reikalavimais.
- [ ] Patikrinau, kad kiekvienas „todėl“ išplaukia iš ankstesnių veiksmų.
- [ ] Aš patikrinau pagrindinį atvejį / numanomą prielaidą.
- [ ] Išbandžiau teiginį paprastais atvejais ir ieškojau priešingų pavyzdžių.
- [ ] Palyginau žinomų teoremų standartinį įrodymą su patikimu šaltiniu.