Табыстар:
- Дәлелдеу идеясы мен әдісін (тікелей, қайшылықты, индуктивті, контрпозитивті) табу және әрбір логикалық қадамның дұрыстығын өзін-өзі тексеру үшін жасанды интеллектті қолдана білу.
- Дәлелдік олқылықтарды, жасырын болжамдарды және «анық», «жалпыға нұқсан келтірместен» сияқты өрнектердің артындағы негізсіз секірістерді анықтау мүмкіндігі
- Талаптың ақиқаттығына сенімді болмай, дәлелдемеге сүйенбес бұрын қарсы мысалдарды іздеу арқылы еркіндік пен негізділікті ажырата білу.
Математикалық дәлелдеу – бұл қабылданған аксиомалардан және бұрын дәлелденген теоремалардан логикалық қадамдармен тұжырымды дәл шығару. Дәлелдеу – математиканың ең қатаң өнімі: бір ғана жарамсыз логикалық ауысу, біз «саңылау» деп атайтын жіберіп алу немесе жасырын болжам, бүкіл дәлелдемені жоққа шығарады. Жасанды интеллект дәлелдеу үшін нанымды көрінетін мәтінді шығаруда өте шебер - сондықтан бұл қауіпті. Сенімді болып көрінетін мәтін дұрыс дәлел бола алмайды. Бұл бөлімде сіз AI-ны дәлелдеу жобасын жасау серіктесі ретінде қалай пайдалану керектігін және әрбір логикалық қадамды қалай тексеру керектігін үйренесіз.
Алғашқы екі анықтама. Дәлелдеу эскизі - бұл дәлелдеудің негізгі идеясы мен қаңқасын беретін, бірақ әрбір бөлшекті толтырмайтын түйіндеме. Дәлелдеу алшақтығы - бұл дәлелде «мұнда ол келесідей» деп айтылған, бірақ оны іс жүзінде ақтамайтын секіріс. Жасанды интеллектпен жұмыс істеу кезіндегі ең үлкен қауіп – нанымды сөйлемдермен жабылатын бос орындар: мәтін сұйық, «сондықтан» және «анық» сияқты жалғауларға толы, бірақ олардың арасындағы секірулер іс жүзінде дәлелденбеген.
Дәлелдеудегі AI күшті және әлсіз жақтары
AI дәлелдеуде екі нәрсені жақсы орындайды: (1) белгілі теореманы дәлелдеудің стандартты идеясын тудырады, (2) дәлелдеуге қандай әдіс (индукция, қайшылық, тікелей, қарама-қарсы) сәйкес келетінін ұсынады. Оның әлсіздігі мынада: түпнұсқа немесе нәзік дәлелдеудің әрбір қадамы шын мәнінде жарамды болуын қамтамасыз ету. AI шын болып көрінетін, бірақ шын мәнінде жалған болып табылатын «жалған дәлелдер» жасай алады — мысалы, ол индукция қадамында негізгі жағдайды өткізіп жіберуі мүмкін немесе «жалпылықты бұзбай» деп айта алады, бірақ жалпылықты шынымен бұзатын болжам жасай алады.
Дәлелдеудің алтын ережесі: дәлелдеудің идеясын табу және көрсету үшін AI пайдаланыңыз; Әрбір логикалық қадамның дұрыстығын өзіңіз тексеріңіз. Дәлелдеуді «қабылдамас бұрын» әрбір «сондықтан» шын мәнінде жарамды екеніне көз жеткізіңіз.
Қадамдық: дәлелді тексеру
1. Талап пен жорамалдарды нақтылаңыз. Не дәлелденіп жатыр? Қандай жорамалдар бойынша? Егер бұл түсініксіз болса, дәлел де бұлыңғыр.
2. Дәлелдеу әдісін білу. Тікелей, қарама-қайшылық бойынша, индуктивті, контрпозитивті түрде? Әдістің құрылымдық талаптарын білу (мысалы, индукцияда негізгі жағдай + индукция қадамы маңызды).
3. Әр «сондықтан» сұрақ қойыңыз. Әрбір логикалық ауысуда «бұл шынымен де алдыңғы қадамдардан келе ме?» сұраңыз. «Анық», «оңай көрінеді», «жалпылығын жоғалтпай» деген тіркестердің астарында ең қулық олқылықтар жасырылады.
4. Жасырын болжамдарды іздеңіз. Дәлел айтылмаған болжамға сүйенеді ме? Мысалы, санның оң немесе функцияның үздіксіз екенін үнсіз қабылдауға болады.
5. Қарсы мысал келтіріп көріңіз. Егер шағым жалған болса, қарсы мысал оны бұзады. Дәлелдеуді қабылдамас бұрын, қарапайым ерекше жағдайларда шағымның шын мәнінде дұрыс екенін тексеріңіз.
6. Сатып алу органымен кеңесіңіз. Белгілі теоремалар үшін стандартты дәлелдемелерді сенімді дереккөзбен (оқулық, рецензияланған дереккөз) салыстырыңыз.
Нұсқау: Дәлелдеудегі «жалпылықты жоғалтпай» деген тіркес екі жүзді қылыш. Кейде ол шын мәнінде жарамды (симметрия болса), кейде бұл жасырын қате. AI бұл өрнекті көп қолданады. «Жалпылық шынымен бұзылмайды» деп өзіңізді ақтап алыңыз; Ол үшін AI сөзін қабылдамаңыз.
Дәлелдеу әдістері мен қателіктер
дәлелдеу әдісі
Құрылымы
Ең көп таралған AI тұзағы
тікелей
Болжам → ... → Қорытынды
арасындағы қадамды өткізіп жіберу
қайшылық
Қарама-қарсы → қарама-қайшылықты табыңыз
Қарама-қайшылық шынайы емес
индукция
Негізгі регистр + қадам
Негізгі жағдайды ұмыту
контрпозитивті
¬Қорытынды → ¬Жорамал
жалған терістеу
Қарсы мысал (қайтару)
жалғыз қарсы мысал
Қарсы мысал жарамсыз
үш шағын іс
1-жағдай — Толық емес негізгі регистр. Мұғалімге индукция арқылы «1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2» формуласын дәлелдейтін AI тапсырды. AI индукция қадамын дұрыс жазды, бірақ негізгі жағдайды ешқашан тексермеді (n = 1). Мұғалім «негізгі корпус қайда?» деп сұрайды. ол сұрады; AI қосылды. Негізгі күйсіз индукция жарамсыз; 30 секундтық тексеру дәлелді сақтап қалды.
2-жағдай — нөлге құпия бөлу. Бір студент «әр а, б үшін a = b» сияқты күлкілі «дәлелді» көріп, АИ-ден «мұнда қате қайда?» деп сұрады. — деп сұрады ол. YZ дәлелдеудің (a − b) бір қадамда бөлінетінін дұрыс көрсетті, ал a = b болжамы бойынша бұл нөлге бөлу. Мұнда AI аудитор ретінде сәтті болды; бірақ студент әлі де бұл қадамды өз қолымен тексерді.
3-жағдай - Сенімді жалған дәлелдер. Инженерлік студентте AI теңсіздікті дәлелдеді. Мәтін жатық, нанымды болғанымен, шаршы түбірлерді бір адыммен алғанда оң да, теріс те түбір болу мүмкіндігін елемей, тек оңды ғана алған. Оқушы бұл олқылықты әр қадамына сұрақ қойғанда тапты. Дәлелдеу қосымша шарт (айнымалылардың оңдылығы) қосылғанда жарамды болды.
Көшірілетін төрт үлгі
1) Дәлелдеу жобасын (идеясын) сұрау:
Төмендегі пікірді (тікелей, қайшылықты, индуктивті, контрпозитивті) дәлелдеу үшін қай ӘДІС орынды болады? Тек НЕГІЗГІ ИДЕЯ мен дәлелдеменің қаңқасын беріңіз, толық дәлелдеме жазбаңыз. Шағым: [мұнда]
2) Қадамдық, дәлелді дәлелдеу:
Келесі талапты [әдіс] арқылы дәлелдеңіз: [талап]. Әрбір қадам үшін қандай аксиома/теорема/анықтамаға сүйенетініңізді жазыңыз. «анық» немесе «оңай» сияқты өрнектерді ҚОЛДАНБАҢЫЗ; Әрбір ауысуды толығымен негіздеңіз. Индукция болса, негізгі корпусты және индукция қадамын бөлек көрсетіңіз.
3) Дәлелдеу саңылауларын іздеу:
Төмендегі дәлелді тексеріңіз. ТЕК логикалық олқылықтарды, жасырын болжамдарды және негізсіз секірістерді іздеңіз. Әрбір «сондықтан» шынымен де алдыңғы қадамдардан келетінін тексеріңіз. Оның қай сатыда тұрғанын тапқан әрбір бос орынды жазыңыз. Дәлелдеу: [мұнда]
4) Қарсы мысалды іздеу:
Мен келесі шағымның ШЫН екенін тексергім келеді: [claim]. Алдымен оны қарапайым ерекше жағдайларда сынап көріңіз; ҚАРСЫ МЫСАЛ табуға тырысыңыз. Қарсы мысал тапсаңыз, көрсетіңіз; Егер сіз оны таба алмасаңыз, сіз қолданып көрген жағдайларды тізімдеңіз (бірақ бұл дәлел емес, жай ғана дәлел іздеу).
Әлсіз шақыру / Күшті шақыру
Әлсіз: «√2 иррационал екенін дәлелдеңдер».
Нәтиже: Стандартты дәлел келеді, бірақ қадам (мысалы, «одан кейін p жұп») негізсіз өткізіліп жіберілген болуы мүмкін және сіз байқамайсыз.
Күшті: "√2 қисынсыз екенін ҚАЙШЫЛЫҚ АРҚЫЛЫ дәлелдеңіз. Әр қадамда қандай болжамды қолданғаныңызды жазыңыз; сондай-ақ "Егер p² жұп болса, p жұп болады" сияқты аралық пікірді негіздеңіз. Соңында қайшылықтың қай жерде пайда болатынын нақты көрсетіңіз."
Нәтижесі: Әрбір аралық талап дәлелді, қайшылықтың көзі анық, олқылық қалмайды.
Жалпы қателер
- Еркіндік пен негізділікті шатастыру. Сенімді мәтін жарамды дәлел болып табылмайды; Әрбір қадам бақылануы керек.
- Индукциядағы негізгі күйді өткізіп жіберу. AI жиі негізгі жағдайды ұмытады; Индукциялық қадамның өзі жеткіліксіз.
- «Жалпылығын жоғалтпай» сұраусыз қабылдау. Бұл мәлімдеме жасырын қате болуы мүмкін; Әр жолы оны ақтап алыңыз.
- Жасырын болжамдарды көрмеу. Позитивтілік, үздіксіздік, нөлдік емес және т.б. сияқты болжамдар дәлелдеуге үнсіз ағып кетуі мүмкін.
- Қарсы мысал келтірместен дәлелдеуге сену. Талап өтірік болса, дәлелдеу де жалған; Алдымен қарапайым жағдайларда шағымның шындығын тексеріңіз.
Абайлаңыз: AI шын мәнінде жалған мәлімдеме үшін де «дәлел» жасай алады — мәтінді шығаратындықтан, ол логикалық негізділікке кепілдік бермейді. Шағымның дұрыстығына сенімді болмасаңыз, алдымен қарсы мысалды іздеңіз. Жалған талаптың «дәлелінде» міндетті түрде бос орын болады; Сіздің міндетіңіз - бұл олқылықты табу.
Қысқаша
Дәлелдеу - математиканың ең қатаң өнімі және AI сенімді, бірақ жарамсыз «дәлелдер» жасай алады. Дәлелдеу идеясы мен әдісін табу үшін AI пайдаланыңыз; Әрбір логикалық қадамның дұрыстығын өзіңіз тексеріңіз. Негізгі жағдайларды, жасырын болжамдарды және «анық» және «алғашқы пікірсіз» сияқты сөз тіркестерінің артындағы бос орындарды іздеңіз. Егер сіз шағымның ақиқатына сенімді болмасаңыз, дәлелге сенбес бұрын қарсы мысалды қолданып көріңіз. Еркіндік жарамдылық емес.
Қолданбалы тапсырма
Стандартты теореманы таңдаңыз (мысалы, «екі жұп санның қосындысы жұп» немесе «√2 иррационал»). AI оны 2-ші үлгімен біртіндеп дәлелдесін. Содан кейін 3-ші үлгідегідей дәлелді тағы да саңылауларды іздеу үшін беріңіз - ол өз дәлелін тексерсін. Содан кейін әрбір «сондықтан» қолмен сұраңыз: негізгі жағдай бар ма, жасырын болжам бар ма, әрбір ауысу негізделген бе? Кем дегенде бір ықтимал алшақтықты немесе жақсарту нүктесін тауып, ескеріңіз.
бақылау парағы
- [ ] Мен шағым мен болжамдарды түсіндірдім.
- [ ] Мен дәлелдеу әдісімен және оның құрылымдық талаптарымен таныстым.
- [ ] Әрбір "сондықтан" алдыңғы қадамдардан келетінін тексердім.
- [ ] Мен негізгі жағдайды/жасырын болжамды тексеруді жасадым.
- [ ] Мен шағымды қарапайым жағдайларда сынап көрдім және қарсы мысалдарды іздедім.
- [ ] Мен белгілі теоремалар үшін стандартты дәлелдемені сенімді дереккөзбен салыстырдым.