Kasu:
- Oskus kasutada tehisintellekti tõestuse idee ja meetodi (otsene, vastuoluline, induktiivne, kontrapositiivne) leidmiseks ning enesekontrolli iga loogilise sammu õigsust
- Võimalus tuvastada tõenduslikke lünki, kaudseid oletusi ja põhjendamatuid hüppeid selliste väljendite taga nagu "selgelt", "ilma et see piiraks üldistust".
- Oskus teha vahet sujuvuse ja kehtivuse vahel, otsides vastunäiteid enne tõenditele tuginemist, olemata kindel väite tõesuses.
Matemaatiline tõestus on väite täpne tuletamine loogiliste sammudega aktsepteeritud aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Tõestus on matemaatika kõige rangem toode: üksainus kehtetu loogiline üleminek, väljajätmine või kaudne oletus, mida me nimetame "lüngaks", lükkab ümber kogu tõestuse. Tehisintellekt on väga osav tõestuseks veenva välimusega teksti loomiseks – ja just seetõttu on see ohtlik. Tekst, mis tundub veenev, ei ole kehtiv tõestus. Selles üksuses saate teada, kuidas kasutada tehisintellekti tõendi koostamise partnerina ja kuidas kontrollida iga loogilist sammu.
Esimesed kaks määratlust. Tõestusvisand on kokkuvõte, mis annab tõestuse põhiidee ja luustiku, kuid ei täida kõiki detaile. Tõestuslünk on hüpe, mille puhul tõestus ütleb "siit see järgneb", kuid tegelikult ei õigusta seda. Suurim risk tehisintellektiga töötamisel on veenvate lausetega kaetud lüngad: tekst on voolav, täis sidesõnu nagu "seepärast" ja "ilmselgelt", kuid vahepealsete hüpetega, mis pole tegelikult tõestatud.
AI tugevused ja nõrkused tõestamisel
AI teeb tõestamisel hästi kahte asja: (1) kutsub esile tuntud teoreemi tõestuse standardideed, (2) soovitab, milline meetod (induktsioon, vastuolu, otsene, kontrapositiivne) võiks tõestuse jaoks sobida. Selle nõrkus on järgmine: tagada, et originaalse või peene tõendi iga samm on tegelikult kehtiv. Tehisintellekt võib toota "eksitavaid tõestusi", mis näivad tõesed, kuid on tegelikult valed – näiteks võib see induktsioonietapil põhijuhtumi vahele jätta või öelda "üldsust rikkumata", kuid teha eelduse, mis tegelikult rikub üldistust.
Nii et tõestuse kuldreegel: kasutage AI-d, et leida ja visandada tõestuse idee; Kontrollige ise iga loogilise sammu paikapidavust. Enne tõendi "vastuvõtmist" veenduge, et iga "seetõttu" on tegelikult kehtiv.
Samm-sammult: tõendi kontrollimine
1. Täpsustage väidet ja eeldusi. Mida tõestatakse? Millistel eeldustel? Kui need on ebamäärased, on ka tõendid ebamäärased.
2. Tunne tõestusmeetodit. Otseselt, vastuoluliselt, induktiivselt, kontrapositiivselt? Teadke meetodi struktuurseid nõudeid (nt induktsiooni puhul on põhijuhtum + induktsioonisamm hädavajalik).
3. Küsi iga “seepärast”. Igal loogilisel üleminekul "kas see tuleneb tõesti eelmistest sammudest?" küsi. Kõige salakavalamad lüngad peidavad end väljendite "ilmselgelt", "seda on hästi näha", "üldsust kaotamata" taha.
4. Otsige kaudseid eeldusi. Kas tõestus tugineb väljaütlemata oletustele? Näiteks võib vaikselt nõustuda, et arv on positiivne või funktsioon on pidev.
5. Proovige vastunäidet. Kui väide on vale, lammutab vastunäide selle. Enne tõendi vastuvõtmist kontrollige lihtsatel erijuhtudel, kas väide vastab ka tõele.
6. Konsulteerige hankeasutusega. Võrrelge tuntud teoreemide standardtõestust usaldusväärse allikaga (õpik, eelretsenseeritud allikas).
Vihje: Tõestuses sisalduv fraas "üldisust kaotamata" on kahe teraga mõõk. Mõnikord kehtib see tegelikult (kui on sümmeetria), mõnikord on see varjatud viga. AI kasutab seda väljendit palju. Põhjendage end iga kord, et "üldisus pole tegelikult katki"; Ärge võtke AI sõna selle eest.
Tõestusmeetodid ja lõksud
tõestusmeetod
Struktuur
Kõige tavalisem AI lõks
otsene
Eeldus → ... → Järeldus
vahepealse sammu vahele jätmine
vastuolu
Eeldame vastupidist → leia vastuolu
Vastuolu pole reaalne
induktsioon
Põhijuhtum + samm
Põhiolukorra unustamine
kontrapositiivne
¬Järeldus → ¬Eeldus
vale eitus
Vastunäide (ümberlükkamine)
üksik vastunäide
Vastunäide on kehtetu
kolm minikarpi
Juhtum 1 – mittetäielik põhijuhtum. Õpetaja lasi tehisintellektil induktsiooni abil tõestada valemit "1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2". AI kirjutas induktsioonietapi õigesti, kuid ei kontrollinud kunagi põhijuhtumit (n = 1). Õpetaja küsib "kus on põhijuhtum?" ta küsis; AI lisatud. Ilma põhiolekuta on induktsioon kehtetu; 30-sekundiline kontroll päästis tõendi.
Juhtum 2 – salajane jagamine nulliga. Üks õpilane nägi naeruväärset "tõestust" nagu "a = b iga a, b kohta" ja küsis tehisintellektilt "kus siin viga on?" küsis ta. YZ näitas õigesti, et tõestus jagab ühes etapis arvuga (a − b) ja eeldusel a = b on see jagamine nulliga. Siin oli AI audiitorina edukas; kuid õpilane kontrollis seda sammu siiski oma käega.
3. juhtum – veenvad valetõendid. Inseneritudeng lasi tehisintellektil tõestada ebavõrdsust. Tekst oli ladus ja veenev, kuid ühes sammus ruutjuuri võttes eiras nii positiivsete kui negatiivsete juurte võimalikkust ja võttis ainult positiivse. Õpilane leidis selle lünga, kui ta küsis igal sammul. Tõestus hakkas kehtima, kui lisati lisatingimus (muutujate positiivsus).
Neli kopeeritavat malli
1) Tõenduskavandi (idee) taotlemine:
Milline MEETOD sobiks järgmise väite tõestamiseks (otsene, vastuoluline, induktiivne, kontrapositiivne)? Esitage lihtsalt PÕHIIDEE ja tõestuse skelett, ärge kirjutage täielikku tõestust. Nõue: [siin]
2) Samm-sammult põhjendatud tõestus:
Tõesta järgmine väide [meetodiga]: [väide]. Kirjutage üles, millisele aksioomile/teoreemile/definitsioonile iga sammu puhul tuginete. ÄRGE kasutage selliseid väljendeid nagu "selgelt" või "lihtsalt"; Põhjendage iga üleminekut täielikult. Induktsiooni korral näidake eraldi põhijuhtumit ja induktsioonietappi.
3) lünkade otsimine:
Vaadake allolevat tõendit. LIHTSALT otsige loogilisi lünki, kaudseid eeldusi ja põhjendamatuid hüppeid. Kontrollige, kas iga "seepärast" tuleneb tegelikult eelmistest sammudest. Kirjutage üles iga leitud tühimik, millise sammuga see on. Tõestus: [siin]
4) Otsige vastunäidet:
Soovin testida, kas järgmine väide vastab tõele: [nõue]. Esmalt testige seda lihtsatel erijuhtudel; proovige leida VASTNÄIDE. Kui leiate vastunäite, näidake seda; Kui te seda ei leia, loetlege olukorrad, mida proovisite (aga see pole tõend, vaid tõendite otsimine).
Nõrk viip / Tugev viip
Nõrk: "Tõesta, et √2 on irratsionaalne."
Tulemus: standardne tõestus tuleb, kuid samm (nt "siis p on paaris") võib olla ilma põhjenduseta vahele jäetud ja te ei märka seda.
Tugev: "Tõesta VÕISTLUSEGA, et √2 on irratsionaalne. Kirjutage üles, millist eeldust kasutasite igal sammul; põhjendage ka vahepealseid väiteid, nagu "Kui p² on paaris, siis p on paaris". Lõpuks näidake selgelt, kus täpselt vastuolu tekib."
Tulemus: Iga vaheväide on põhjendatud, vastuolu allikas on selge, lünki ei jäeta.
Levinud vead
- Ajab sujuvuse ja kehtivuse segamini. Veenv tekst ei ole kehtiv tõend; Iga sammu tuleb jälgida.
- Põhiseisundi vahelejätmine induktsioonis. AI unustab sageli põhijuhtumi; Induktsioonist üksi ei piisa.
- Võtta vastu "üldisust kaotamata" ilma kahtluseta. See väide võib olla varjatud viga; Põhjendage seda iga kord.
- Ei näe kaudseid eeldusi. Sellised eeldused nagu positiivsus, järjepidevus, nullist erinev jne võivad vaikselt tõestusse lekkida.
- Usaldage tõestust ilma vastunäidet proovimata. Kui väide on vale, on ka tõend vale; Kõigepealt kontrollige väite õigsust lihtsatel juhtudel.
Ettevaatust: AI võib toota "tõestust" isegi väitele, mis on tegelikult vale – kuna see toodab teksti, ei garanteeri see loogilist kehtivust. Kui te pole nõude õigsuses kindel, otsige esmalt vastunäidet. Vale väite "tõestus" sisaldab tingimata lünka; Teie ülesanne on see tühimik üles leida.
Kokkuvõttes
Tõestus on matemaatika kõige rangem toode ja AI suudab toota veenvaid, kuid kehtetuid "tõestusi". Kasutage AI-d tõestuse idee ja meetodi leidmiseks; Kontrollige ise iga loogilise sammu paikapidavust. Otsige võtmejuhtumeid, kaudseid eeldusi ja lünki selliste fraaside taga nagu "selgelt" ja "ilma eelarvamusteta". Kui te pole väite õigsuses kindel, proovige enne tõendi usaldamist vastunäidet. Sujuvus ei ole kehtivus.
Rakenduse ülesanne
Valige standardne teoreem (nt "kahe paarisarvu summa on paaris" või "√2 on irratsionaalne"). Laske tehisintellektil seda teise malliga samm-sammult tõestada. Seejärel esitage lünkajahi jaoks uuesti sama tõestus nagu 3. mall – las ta kontrollib oma tõestust. Seejärel küsige käsitsi iga "seepärast": kas on olemas põhijuhtum, kas on kaudne eeldus, kas iga üleminek on õigustatud? Leidke ja märkige üles vähemalt üks võimalik lünk või parenduspunkt.
kontrollnimekiri
- [ ] Täpsustasin väidet ja oletusi.
- [ ] Õppisin tundma tõestusmeetodit ja selle struktuurseid nõudeid.
- [ ] Kontrollisin, et iga "seepärast" tuleneb eelmistest sammudest.
- [ ] Tegin baasjuhtumi / kaudse oletuse kontrolli.
- [ ] Testisin väidet lihtsatel juhtudel ja otsisin vastunäiteid.
- [ ] Võrdlesin tuntud teoreemide standardtõestust usaldusväärse allikaga.